En
Mathématiques, un
Module quotient est l'ensemble quotient d'un
module donné par un de ses sous A-module.
Définition
Soient M un
module sur un anneau A et N un A-sous module de M.
On définit la relation d'équivalence R suivante : ∀ (x,y) ∈ M 2 , xRy ⇔ (x-y) ∈ N
Deux éléments de M sont ainsi en relation si leur différence appartient au sous module N, c’est-à-dire si x et y sont congrus modulo N.
L'ensemble quotient M / R , que l'on note alors M/N, muni des deux opérations suivantes induites par M
- (x+N)+(y+N) = x+y+N
- (x+N) × (y+N) = (x y)+N
est un module sur A, nommé A-module quotient de M par N.
Propriétés
- C'est l'unique façon de munir le Groupe abélien M/N d'une structure de A-module pour que la projection canonique π : M → M/N soit un homomorphisme de A-module.
- Pour tout morphisme de A-module f : M → L tel que f (N) = {0 L } , il existe un unique morphisme de A-module tel que .
Exemples
- Si N = M, M/M est le module trivial {0} .
- Si I est un Idéal de A, alors IM = où a j ∈ I, m j ∈ M et J une partie de N } est un sous A-module de M et M/IM peut être muni d'une structure de module sur A/I.